Starověká matematika

Původ čísel 60 a 360

Čas počítáme po šedesáti jednotkách. Minuta má 60 sekund, hodina 60 minut. Kruh má 360°, ve stupních počítáme úhly, stupni dělíme oblohu a měříme naši polohu. Není to tak dávno, kdy se počítalo na kopy (60 ks) i velekopy (60 kop).

Dědictví počítání v násobcích šedesáti či dělení kruhu na 360° nám zanechala nejstarší lidská civilizace - Sumerové. Ti používali tzv. sexagesimální číselnou soustavu. Jejím základem je počet 60. Tento vynález našich prapředků byl natolik geniální, že jej někteří badatelé považují za dar bohů či mimozemských civilizací.

Sumer a sexagezimální číselná soustava

Prvé dochované hliněné tabulky z období okolo roku 3000 př. n. l. ukazují, že lidé ve starověké Mezopotámii počítali v desítkově-šedesátkové nepoziční číselné soustavě (sexagezimální - 6 x 10). Jde o desítkovou soustavu, kde je vyšší jednotkou šedesát, nikoliv sto. V desítkově-šedesátkové nepoziční číselné soustavě existoval pro každý desítkový a šedesátkový řád zvláštní znak klínopisu. Později, kolem r. 2000 př. n. l., došlo v Mezopotámii k přechodu na šedesátkovou poziční číselnou soustavu, kde se hodnota číselného znaku měnila podle jeho pozice v záznamu číselné hodnoty. Ani tento způsob zápisu se však nakonec neprosadil a byl nahrazen nepoziční desítkovou soustavou.

Dodnes užíváme šedesátkovou soustavu k měření úhlů, času i polohy. Úhlovou minutu dělíme na 60 vteřin, 60 minut tvoří jeden stupeň a 360° vytváří celek - kruh. V kruhu času má jedna minuta 60 sekund a jedna hodina 60 minut.^[a]

Proč však bylo základem počítání starých Sumerů právě číslo 60? Pro nás, uvyklé počítat v poziční desítkové číselné soustavě, je to stěží pochopitelné.

Proč právě 60 a 360?

Naše desítková početní soustava (dekadická, r = 10)^[b] se nám jeví naprosto přirozená. Má pravděpodobně původ v počtu prstů na obou rukou. Člověk jednoduše svými prsty ukazoval počet. Základem soustavy se staly prsty obou otevřených dlaní, tedy deset. Proč však Sumerové používali pro nás zvláštní desítkově-šedesátkovou soustavu?

Dělitelnost

Již řecký matematik Theón Alexandrijský (335-405 n. l.) se snažil odpovědět na otázku, proč Babyloňané resp. jejich předchůdci používali šedesátkovou^[c] soustavu. Podle něj bylo důvodem to, že  60 je nejmenším číslem beze zbytku dělitelným 1, 2, 3, 4 a 5.

Dobře dělitelná je však například číslice 12. Přesto však žádná civilizace nepracovala s dvanáctkovou číselnou soustavou. Stačilo pracovat s mírami na základě počtu 12. Například dříve u nás používaný tucet znamenal 12 kusů. Jedním z důvodů používání tuctu byla možnost jednoduchého dělení na polovinu, třetiny i čtvrtiny. 

Míry a váhy

Podle některých badatelů byla původní desítková soustava nahrazena šedesátkovou z důvodů jednoduššího rozdělování vah a měr na třetiny. Celek šedesáti kusů mohl být rozdělen na 2 x 30, 3 x 20, 4 x 15 či 5 x 12.

Sumerský systém měření a vážení však používal i jednoduché zlomky typu 1/3 i 2/3. Navíc platí, co je uvedeno v předchozím odstavci, stačilo zavést jednodušší dvanáctkovou soustavu.

Zlatý řez

Zlatý řez (latinsky sectio aurea) znamená rozdělení úsečky na dva díly tak, že poměr menší části k větší je týž jako poměr větší části k celé úsečce: A : B = B : (A + B)
Poměr A/B činí zhruba 1,618. Poměr B/A pak přibližně 0,618.

Někteří badatelé zaokrouhlují poměr 0,618... na 0.6, což je 6 : 10.  6/10 označují za božský poměr a z něj prý Sumerové odvodili desítkově-šedesátkovou soustavu.

Tato teorie však připomíná spíše hru s čísly. Navíc snahy dělit úsečku v tzv. "zlatém řezu" jsou doloženy až od 7. stol. př. n. l.

Počítání prsty

Naše desítková soustava má původ v počítání na prstech obou rukou. Deset prstů vytvořilo základ dekadické početní soustavy. Jiné kultury používaly dvacítkovou soustavu protože do praktických počtů zahrnuli i prsty na nohou.
Podobně však mohlo vzniknout i počítání po šedesáti. Jednotlivé články čtyř prstů na jedné ruce by sloužily jako počitadlo. Počítali bychom pěti prsty druhé ruky.  Dopočítat se můžeme šedesáti: 4 * 3 * 5 = 60

Uvedené počítání je však nepříliš praktické.

Sloučení dvou početních soustav

Je možné, že desítkově-šedesátková soustava vznikla spojením dvou jiných soustav: např. dvanáctkové a pětkové. Pětková soustava není zdaleka tak rozšířena, jako desítková, přesto však ve starověku existovala. Lidé počítali pouze s prsty na jedné ruce.

Podobně mohlo dojít ke sloučení desítkové a šestkové soustavy. V Babylónii bylo číslo 10 přirozenou jednotkou což může svědčit o existenci dřívějšího dekadického systému.

Zatím však nebyl nalezen žádný písemný doklad o míšení dvou početních soustav.^[2]

Hvězdářství a kalendář

Měsíce x planety

Neznáme však důvod právě takového násobení.

Průměr Slunce na pozadí oblohy

Archimédes ve 2. stol. př. n. l. údajně psal, že slunce okupuje 1/720 pásu nebe, po kterém putuje. To podporuje teorii, podle které naši prapředkové pozorovali velice přesně pohyb slunečního kotouče po obloze a jeho dráhu uměli porovnat s jeho zdánlivou velikostí.
Podle jedné z hebrejských encyklopedií^[1] lidé porovnali velikost slunečního kotouče s obloukem, který slunce denně vykoná a zjistili, že tato dráha je 720-krát větší, než vlastní sluneční kotouč. Rozdělili tuto sluneční dráhu, denně sluncem opisovanou na 720 dílů, z nichž přesně polovina tj. 360 je viditelná, druhá polovina je skryta.
To by zřejmě vyžadovalo sledování pohybu slunce během rovnodennosti. Při zimním slunovratu je cesta slunce po obloze nejkratší, při letním slunovratu nejdelší. Při rovnodennosti je světelný den stejně dlouhý, jako noc. Slunce tedy projde stejnou dráhu v noci i ve světelném dni, jen tehdy jeho dráha vytváří půlkruh (viz Slunce-slunovrat a rovnodennost). Pokud po takové rovnodennostní dráze slunce během světelného dne poskládali fiktivní sluneční kotouče jeden vedle druhého, vešlo se jich tam 360.

Lidé však mohli použít mnohem jednodušší postup. Zaměřili směrem k protilehlým okrajům slunečního nebo měsíčního kotouče úhloměr a zafixovali tyčemi svíraný úhel. Pokud pak tento úhel vložili opakovaně do kruhu, rozdělili jej na 720 dílků.
Jak je to možné? Úhlový průměr slunce i měsíce činí zhruba 0,5°.^[d]  Kruh má 360°. Platí tedy 360 / 0,5 = 720.

Sumerové dělili den na 12 jednotek kaspu (našich dvouhodin).  Během jedné sumerské hodiny kaspu se tedy slunce posunulo po obloze o 60 svých poloměrů: 720 / 12 = 60

Pokud však lidé zjistili, že slunce či měsíc svým kotoučem zabírá 1/720 své celkové dráhy resp. 1/360 své denní či noční dráhy, proč kruh nedělili rovněž na 720 dílů? Navíc úhlový průměr slunce nečiní přesně 0,5 stupně (30´) ale zhruba 32´.

Počet dní v roce

Podle matematika Moritze Cantora (1829 - 1920) byl důvodem obliby čísel 60 a 360 počet dní v roce. Právě 360 dní v roce mohlo být základem desítkově-šedesátkové soustavy i dělení kruhu na 360 částí.

Kritikové samozřejmě připomínají, že rok má více než 360 dní a Sumerové to samozřejmě věděli.

360 a harmonie světa

Lidé od pradávna umísťovali sídla bohů na nebesa. Nebe představovalo vzor, dokonalou část světa odkud bohové řídili věci pozemské. Mudrcové věřili, že objevením číselné závislosti nebeských jevů získají klíč k poznání principů života na zemi. Soulad lidského konání s přáním bohů, reprezentovanými často i nebeskými tělesy, mohl zajistit spokojený a šťastný život. Proto se lidé snažili organizovat svůj život v souladu s nebeskými jevy.

Lidé na určité úrovni svého vývoje začali systematicky hledat číselný řád světa, číselné vztahy mezi člověkem a rytmem jeho života na zemi. Organizace života společnosti podle nebeského řádu měla přinést harmonii a blahobyt. Základem starověkých koncepcí světa byla představa periodicity času a princip věčného návratu. Lidé věřili, že vše se děje v cyklech, neustále opakovaných (viz Mýtický čas).

Dosud není jasné, jak v Sumeru vznikala desítkově-šedesátková početní soustava. Je však pravděpodobné, že za vzor si dávní mudrcové brali právě cyklické nebeské jevy. Zásadní pro život a odměřování času byl pohyb Slunce a Měsíce po obloze (viz Slunce - den, týden a světové strany).

Sledování Slunce umožnilo již ve starověku stanovit délku roku a ten dále rozdělit dvěmi slunovraty a dvěmi rovnodennostmi. Lidé tak stanovili čtyři stěžejní mezníky svého kalendáře. Za počátek roku pak často považovali jarní rovnodennost. Také nejstarší známá civilizace starověké Mezopotámie začínala počítání roku od období jarní rovnodennosti.
Sumerové samozřejmě mohli vypozorovat, že roční cyklus trvá zhruba 365 dní.  Ve své snaze nalézat v přírodních cyklech boží harmonii však jako délku roku stanovili 360 dní. Toto číslo umožnilo dělit rok na poloviny, čtvrtiny i třetiny.
Je možné, že sledovali i  poměr velikosti slunečního kotouče resp. jeho průměru k celkové dráze nebeského tělesa. Měření jistě nebylo přesné ale ukazovalo, že Slunce svým kotoučem zabírá zhruba 1 /720 své celkové dráhy resp. 1/360 své denní či noční dráhy. Stejné platilo i pro měsíční kotouč.
Délka roku, pohyb a velikost Slunce i Měsíce... tyto cyklicky a v kruhu se opakující jevy tedy byly spojeny s číslicí 360. Bylo tedy geniálně jednoduché spojit s tímto číslem i kruh, rozdělovat kružnici na 360 úseků, dělit kruh na 360°.

Kruh času tak byl v souladu s kruhem geometrickým a snad také s kruhem země (země byla chápána jako plovoucí deska či koláč - viz Země a nebe). Ve středu země, prostorového kruhu, bylo pět bodů posvátného zikkuratu - čtyři rohy čtyřúhelníkové základny s vrcholkem tyčícím se k nebi. Podobně i kruh času tvořilo 360 sekulárních dní a dodatečných 5 dní svátků, během nichž umíral starý rok a rodil se nový.

Z praktických důvodů bylo obtížné postavit početní soustavu na základu čísla 360. Nabízelo se rozdělit 360 na 6 dílů po šedesáti. Číslo 60 mělo mnoho výhod zmíněných již v úvodu. I ono mělo jistou vazbu k nebeským jevům a plynutím času. 5 hvězd známých Sumerům jako "divoké ovce" (tedy 5 planet) násobeno dvanácti kalendářními měsíci  dalo dohromady 60. Lidé však byli uvyklí počítat prsty po desíti. Vznikla tedy desítkově-šedesátková početní soustava. Stala se výsledkem odvěké lidské touhy po harmonii s přírodou, po poznání principu světa, výsledkem hledání boží vůle.

Vytvořeno: 09.10.2007